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现在，我们得到一个由四个直角三角形斜边组成的正方形。我们完全可以通过计算把这个正方形与由直角边组成的两个正方形之间的关系表示出来。但是，这样就会看不到这一图形的自然结构及其深刻含意。我们不需要任何计算。一种孩子们和数学家们常玩的小游戏将比计算揭示更多的道理。把两个三角形的位置重新交换一下。移动指向南方的三角形，使它的斜边与指向北方的三角形的斜边相邻。然后移动指向东方的三角形，使它的斜边与捐向西方的三角形的斜边相邻。
现在，我们得到了一个面积不变、形状像“匚”的多边形，（当然面积不变，因为这个图形是由同样几个直角三角形构成的），我们一眼就可以看出，这个多边形的边，就是直角三角形的直角边。让我把这个“匸形图案的构成表示出来：从上到下画一条线，把这个多边形的上部和底部分开。很明显，底部是一个由直角三角形较短的那条直角边构成的正方形；而“匸”多边形的上部也是一个正方形，它的边是较长的那条直角边。
毕达哥拉斯就是这样论证了这一普遍定理：不仅适用于埃及的各边比例为3：4：5的三角形，或任何巴比伦人的三角形，而且也适用于任何一个直角三角形。他还证明了，只要是直角三角形，以斜边为边长的正方形面积等于以另外两条边构成的正方形面积之和。例如，边长分别为3：4：5的三个边可以构成一个直角三角形，因为52＝5x5=25=16+9＝4x4十3x3=42十32巴比伦人发现的三角形各边长度的比例关系也是如此，无论是简单如8：15：17，或是大得惊人的3367：3356：4825，其比例关系不变。毫无疑问，他们当时已相当精通算术。
迄今为止，毕达哥拉斯的这条定理在整个数学领域中仍然是最重要的一条定理。这样说似乎有些大胆而离奇，但却并不过份；因为毕达哥拉斯所创建的理论是对我们在其中活动的空间的一种基本概括，也是第一次用数的关系来解释空间。一定的适当的数描述了那制约宇宙万物的确切规律。事实上，已经有人提议把构成直角三角形的数的关系作为发往其它星系的行星的信息，以试探那里是否也有智慧生物存在。
重要的一点是，按照我的论证方式，毕达哥拉斯的这条定理还阐明了平面空间的对称关系；直角就是把平面分成四等份的对称元。如果平面空间还有另外一种不同的对称关系，这条定理就不能成立，而对于特殊三角形的各边的另外一种关系来说，还是成立的。即使空间（像空气一样）是看不见的，但它也和物质一样，是自然界的重要组成部分，这是几何学研究的问题。对称不仅涉及一种描述方法的精巧；如同毕达哥拉斯的具它思想一样，还深入到了自然界的和谐性。
毕达哥拉斯在论证了这条伟大定理之后，他向缪斯女神（themuses）献祭了100头公牛，来感谢女神们给他的灵感与启示。这是一种自豪与谦卑合二为一的举动，正如当数字关系相互吻合并且表明“这是自然结构的一部分，是解开自然结构之谜的一把钥匙”时，即使到了今天，每位科学家也都会有同样的感受。
毕达哥拉斯是一位哲学家，在他的信徒们眼中，他又差不多是一位宗教人物。事实上，他颇受亚洲文化的影响，这种影响贯穿在整个希腊文化之中，却又往往被我们忽略。人们总喜欢把希腊看作是西方的一部分；但是，古代希腊的边缘地区，萨摩斯岛，距离小亚细亚海岸仅有一英里。许多对古希腊有深刻影响的思想，最初就是从这里传入的，而令人始料不及的是，这些思想在若干世纪之后，在传入欧洲以前，又传回亚洲。
知识的传播令人惊叹，在我们看来是时间上的突飞猛进，事实上却往往需要经过从一个地方到另一个地方，从一座城市到另一座城市的长途跋涉。商队在运送商品时带去了他们本国的贸易方式——度量衡制和计帐方法——同时也把技术和思想传遍亚洲和北非，传到他们所到过的一切地方。作为许多例子之一，毕达哥拉斯的数学理论也不是直接传给我们的。它激发了希腊人的想象力，不过，使它成为一种严谨的体系的地方却是这座尼罗河城市——亚历山大城（alexandria）。
使数学这门学问系统化并声名大振的人是欧几里得（eucilid），他于公元前约300年把这一理论体系带到了亚历山大城。
显然，欧几里得继承了毕达哥拉斯学派的传统。传说当一位听众问他某一条定理有什么实际用途时，他轻蔑地对他的奴隶说：“他想从学问中捞到点儿好处——给他一个小钱。”
这句指责之辞大概是从毕达哥拉斯学派同盟的一句箴言改编过来的，那句箴言大体可以译为“一个图解就是一个进步，而不是一个图解即一个小钱”——“一个进步”就是指人类知识的一个进步，或者如我所说，是人类的上升。
欧几里得是数学推理的典范，其影响巨大而又深远。在流传至今的书籍中，除了《圣经》，他的《几何原本》（elementsof geometry ）一书，在译成外文的种类和印行的数量上都是首屈一指的。第一位教我数学的老师在引用几何定理时，连数字都是沿用欧几里得用过的数字；这在50年前也并非罕见之事，而且是引经据典的标准方式。当约翰?奥布里（john aubrey）在写到托马斯?霍布斯（thomas hobbes）人到中年突然“爱上几何学”与哲学的时候，他解释说，霍布斯在“一位绅士的书房里”偶然看到一本“欧几里得的《几何原本》，这本书正好翻到第1卷，命题第47。”欧几里得《几何原本》第1卷的命题第47就是毕达哥拉斯的这条著名定理。
大约在耶稣诞生前后的几个世纪里，人们在亚历山大城从事的另一门科学是天文学。我们又一次从传说故事的字里行间抓住了历史的发展动向。《圣经》上说，有三位智者追随一颗明星走到伯利恒（bethlehem），这时，从这个故事里，我们又一次听到一个远古时代的回声，那时的先贤哲人就是星象的观察者。远古时代先贤哲人们所探求的日月星辰之谜，终于被一位在公元150年前后在亚历山大城从事研究的名叫克劳迪斯?托勒密（claudiusptolemy）的希腊人解答了。他的著作的【创建和谐家园】文本传到了欧洲，而希腊文原版却散失殆尽，有些是在公元389年【创建和谐家园】教狂热分子掠夺亚历山大大图书馆时散失的，另外一些则是在黑暗的中世纪席卷东地中海地区的历次战乱和入侵中丢失的。
托勒密构造的天体模型复杂得出奇，不过，整个模型还是从一种简单的类比开始的。月球围绕地球旋转；显然，托勒密认为，太阳和行星也同样如此。（古人把月球和太阳看作行星。）希腊人相信，圆周是运动的完美形式，于是托勒密也让这些行星作圆周运动，或者让行星在围绕另一个圆周旋转的圆周上转动。在我们看来，这些圆和周转圆的图式似乎过分简单而又矫揉造作。但是，事实上，这一体系在当时却是一种美妙动人而又切实可行的发明，它体现了整个中世纪【创建和谐家园】人和【创建和谐家园】徒的一种信念。这一体系持续了1400年之久，远远超过任何更为晚近的科学理论在不作重大改动的情况下所能延续的时间。
在这里，思考一下为什么天文学发展如此之早，如此精密，而且实际上成为整个自然科学的原型这样一个问题是合乎时宜的。在所有自然科学中，日月星辰必定是最不可能引起人类无穷好奇心的自然物。而人体本身应当是早期的系统研究恰当得多的对象。那么，为什么天文学竟在医学之前发展成为第一门科学？为什么医学本身在抢救病人生命时，还要求诸星象，以预卜凶吉祸福呢？——难道占星术的魔力竟使人放弃把医学作为一门科学吗？我认为，一个主要的原因是，人们观察到的日月星辰的运行被证明是可以计算出来的，而且，很早以来（也许早在公元前300年的巴比伦），人们就将这些星辰的运动纳入数学运算范畴了。天文学之所以出类拨萃，成绩斐然，是因为它具有可以用数学方法加以研究的特点，而物理学的，以及最近的生物学的长足进步。也同样是取决于它们找到了自身规律的公式，而这些公式都是可以用数学的模式来表示的。
思想的传播往往需要某种新的推动力，公元600年，【创建和谐家园】教的创立就是这样一种新的、强大的推动力，它开初只是一种地方性活动，后果如何，未能逆料；但是，当公元630年【创建和谐家园】（mahomet）一旦征服了麦加（mecca），【创建和谐家园】教就如疾风骤雨，席卷整个南方世界。在100年内，【创建和谐家园】教占据了亚历山大城，又在巴格达（baghdad）建立了一座宏大的学术城，并把它的边界推进到波斯的伊斯法罕（isfahan）以东地区。到了公元730年，这个【创建和谐家园】帝国的版图从西班牙和法国南部开始，一直扩展到中国和印度交界的地方：这真是一个力量无比强大、堂而皇之的帝国，而在这时，欧洲却正处在中世纪的黑暗时代。
在这宗教的征服过程中，被征服民族的科学知识被人们以一种掠夺狂式的热情加以搜集。与此同时，从前被人视若等闲的简单的、地方性的技艺得到某种复苏。例如，用于建造最早的圆顶【创建和谐家园】寺的器械并非什么复杂的玩意儿，不过是古代工匠使用的三角板——这种工具至今为人们沿用。位于伊斯法罕的“星期五【创建和谐家园】寺”（masjid-i-jomi）就是早期【创建和谐家园】教的宏伟的历史遗迹之一。在诸如此类的中心，希腊和东方的知识受到珍视，被广泛吸收，并不断丰富起来。
【创建和谐家园】历来坚信，【创建和谐家园】教不应成为一种崇尚奇迹的宗教，从它富于理智的内容上看，【创建和谐家园】教已成为一种冥想与分析的形式。【创建和谐家园】教义的著作家使神非人格化和程式化：【创建和谐家园】教的神秘主义不在于血和酒、肉和面包，而是一种超脱尘世的出神入化。
【创建和谐家园】是天地之光。他的光照可比作放在壁龛中的一盏明灯，这盏灯罩在一个如星光般灿烂的水晶球中，交相辉映。在【创建和谐家园】己认可的、为纪念他的伟名而修建的寺庙中，人们从早到晚赞美他，不善经商或未能获利的人因牢记【创建和谐家园】而时来运转。
星盘（astrolabe）本来是希腊人的一项发明，【创建和谐家园】【创建和谐家园】将这种星盘加以改进，精心制作，广为传播。作为一种天文观测装置，这种星盘仍很原始，它只能粗略地计算太阳或某个星体的黄纬（the elevation）。但是，将一幅或几幅星象图配合进行这种简单的观测，就可使用星盘进行一种程序复杂的计算，测定纬度、日出和日落、祈祷时间以及为香客测定去麦加朝觐的方向。和星象图不同，星盘上刻有占星术和宗教的图饰。令人感到一种神秘的慰籍。
在很长一段时间内，这种星盘好似世人常用的怀表和滑尺。1391年，诗人杰弗里.乔臾（geoffrey chaucer）写了一本教他儿子使用星盘的入门书，他是从8世纪的一位【创建和谐家园】天文学家那里抄录来的。
对摩尔学者来说，计算是一种无穷的乐趣。他们喜欢计算难题，乐于寻求解决这些难题的独创方法，有时，他们还把自己的方法发展为机械装置。一种比星盘更为精巧的轻便计算器，即所谓的占星术或天文学计算器，有点像自动日历，就是在13世纪巴格达的哈里发帝国（caliphate）制造的。它的运算原理并不深奥，只不过是一种可用来预报时日的组合式日晷，但它却是700年前那些工匠们高超的机械制造技艺的一个明证，也是他们热衷于玩弄数学游戏的一个明证。
那些勤勉好学、孜孜以求、宽容忍让的【创建和谐家园】学者从遥远的地方带来的一项最重要的发明就是数字书写方法。那时，欧洲采用的表示数字的符号仍是笨拙的罗马字，书写数字是把罗马字简单地相加，拼凑而成：例如，1825写成mdcccxxv，因为m等于1000，d等于500，c加c加c等于100＋100＋100，xx等于10＋10，而v等于5。而【创建和谐家园】国家则以我们今天仍称为“【创建和谐家园】数字”的现代十进位制记数法取而代之。
不过，一种用位数表示数量的数字体系一定要能够表示零位数。这种【创建和谐家园】记数方法需要创造一个表示零的符号。在这一页手稿上，表示零的符号出现了两次；在出现得更多，看上去很像我们今天使用的符号。“zero”和“cipher”（零，无）就是两个【创建和谐家园】字；而“algebra”（代数），“almanac”（年历、年鉴），“zenitth”（天顶），以及数学和天文学上的另外10多个词也是【创建和谐家园】语词。在大约公元750年时，【创建和谐家园】人从印度传入十进位制。那以后又过了500年，十进位制才在欧洲通行。
大概由于这个摩尔人帝国广被千里，它成了一个知识的集市。帝国的学者既有东方的异端聂斯脱利派【创建和谐家园】（nestorianchristians），也有西方的异端犹太【创建和谐家园】（jews）。尽管【创建和谐家园】教力求改变人们的宗教信仰，却从不轻视他们的知识，这或许是【创建和谐家园】教的一种宗教品质吧。在东方，伊斯法罕这座波斯古城就是它的纪念丰碑。在西方，也留下了一座堪与波斯城媲美的遗址，这就是西班牙南部的艾勒汗卜拉宫。
从外面看上去，艾勒汗卜拉宫是一座威严冷酷的方形要塞，看不出丝毫【创建和谐家园】风格。但从内部来看，它却不是什么要塞，而是一座宫殿，一座精心设计、向世人预示极乐世界的宫殿。这座艾勒汗卜拉宫是一座晚期建筑。它体现了一个帝国在平静——如它所认为的——而安全地度过它的极盛时期之后的那种懒散与闲适。而一向崇尚冥思默想的宗教也变得越来越沉缅于感官【创建和谐家园】和自我陶醉了。官殿里流水漏漏，那碧波粼粼的流水形象几乎贯穿于全部【创建和谐家园】音乐的旋律之中，尽管这些音乐都是以毕达哥拉斯的弦长比数为基础的，每一座庭院都像是对一种梦境的追忆与再现，苏丹从这些庭院中飘然而过（他不是步行，而是由人抬着走过的）。艾勒汗卜拉宫几乎是《【创建和谐家园】》中所描绘的天堂上界的真实写照。
【创建和谐家园】赐福给那些耐心工作，信奉【创建和谐家园】的人。那些信仰虔诚、努力行善的人将永远住在天堂里，河水从他们脚下滚滚流过……他们将受到尊敬，在充满欢乐的花园里，面对面地躺在睡榻上。一个杯子在他们中间来回传递，轮流享用那甘美、清彻的泉水……他们的配偶斜倚在柔软的绿色坐垫上或美丽舒适的地毯上。
艾勒汗卜拉宫是【创建和谐家园】文明在欧洲的最后的、也是精美绝伦的纪念遗址。最后一个摩尔人王朝在这里一直执政到1492年，其时西班牙的伊莎贝拉（queen isabella）已在大力支持哥伦布的探险航行。整座宫殿由许多蜂窝状的庭院和厢房组成。宫中最隐秘的地方是沙拉德那什（sala de las camas）。后宫的年轻姑娘们沐浴之后来到这里，【创建和谐家园】地躺着，盲人乐师在长廊上吹拉弹唱，宦官轻轻走进走出。苏丹高高在上，观赏作乐，把一只苹果扔给他选中的姑娘，示意要与她共度良宵。
按照西方的文明习俗，这样一个房间应该挂满优美的女人裸体色情画。但这儿却不是这样。【创建和谐家园】教禁止描绘人体，甚至人体解剖研究也完全被禁止，这正是【创建和谐家园】科学发展的一个主要障碍。因此，我们在这里只看到一些颜色鲜艳而又异常简单的几何形纹饰。在【创建和谐家园】文明中，艺术家和数学家合而为一。我这样说并不夸张。这些图案表明，【创建和谐家园】人在研究空间本身的微妙和对称性方面，即我们今天称为欧几里得空间方面，已达到相当高的水平。这种平面的两维空间是毕达哥拉斯首先加以描述的。
在这大量丰富的图案中，我就从最简单明了的一种图案开始吧。这种图案的花纹是一种两瓣叶片的重复，其中呈水平方向的是深色叶片，而呈垂直方向的是浅色叶片。这样，平行移动（即平行地改变图形的位置）和朝水平方向或垂直方向作反射移动，都会形成明显的对称关系。但是，请注意，更为微妙的一点是，【创建和谐家园】人喜欢设计那种深色花纹和浅色花纹完全相同的图案。于是，如果你一时忽略了色彩的异同，便会看出，当你把深色叶片转动90度后，就转到了相邻的浅色叶片的位置上。然后，再次转动，又转到了另一个叶片的位置上，最后回到原先的位置。不过，在转动叶片时，你必须始终围绕同一个交合点旋转。这样你可以准确地围绕整个图案转动；不管离旋转的中心有多远，图案中的每个叶片都会转到相邻叶片的位置上。
沿水平线的反射是这种有色图案的双重对称，沿垂直线的反射也是如此。而当我们将颜色置于不顾时，我们就可以看到一种四重对称，它是由作四次90度的转动而形成的，我已经用这种方法证明了毕达哥拉斯定理；因此，对称的无色图案，就成了毕达哥拉斯式的正方形。
现在我再谈谈一种复杂得多的图案。这些好似被凤吹得卷起来的四种颜色的三角形，仅仅表现了一种非常明显的在两个方向上的对称关系。你可以垂直地或朝水平方向将这个图案移动到新的、完全相同的位置。图案中的花纹好像被风吹得卷起来似的这一点并非与本题无关。人们很难找到一种不可以反射的对称体系。然而，这个图案的花纹却是不可以反射的，因为所有这些被风吹得呈卷状的三角形都是向右转动的，如果不让它们朝左边转动，它们便不能反射。
现在，假设你不管这些三角形有绿、黄、黑、蓝色之别，把它们看成只有深、浅两色之分。那么，你就可以看到这里也有一种旋转的对称。再把你的注意力集中到交会点上，你就会看到六个三角形在这里相交，而它们的颜色则交替为深浅两色。一个深色三角形可以转动到下一个深色三角形的位置上，再转到下一个的位置，最后回到它原先的位置——这是一种使整个图素旋转的三重对称。
可能形成的对称还不仅限于此。如果完全不考虑颜色的差异，那么旋转角度稍小一些，你就可以使一个深色三角形移到它旁边的浅色三角形的位置上，因为这个浅色三角形与它的形状完全相同。照这样转下去，依次转到深色、浅色、深色、浅色，最后转回到原来的深色三角形的位置——这就成了一种使整个图案转动的空间的六重对称。实际上，我们大家都很熟悉这种六重对称，因为这就是雪的晶体的那种对称形式。
谈到这里，那些并非数学家的人们有理由发问：“怎么？这就是数学研究的东西吗？从前【创建和谐家园】的教授，或者现代的数学家们就这样在这种不及大雅的游戏上耗费时日吗？”对这个问题出人意料的回答是——不，这不是一种游戏。它使我们直接面对某种我们易于忘怀的东西，即，我们生活在一种特殊的空间——三维的平坦空间——而且，这种空间的种种特性是无法突破的。在探究怎样才能使一个图案转回到自己原来的位置上时，我们就正在发现那支配我们的空间的无形法则。不仅在人为制作的图案中，而且在大自然所强加于基本的原子结构的种种规律法则中，只有特定的几种对称关系是我们的空间所能提供的。
包含着这类空间的自然形态的结构似乎是那些结晶体。而且，当你观察一个人手未曾触及的晶体——如冰洲石——时，你会十分惊奇地发现，冰洲石的表面为什么会是规整的，这一点并不是无须证明的。这些表面为什么会是平坦的平面，这一点也决非不言自明。晶体就是如此；人们已习惯于它们的规整和对称，但是，为什么会这样？它们这个样子，并非人力所及，而是自然的造化。这种平整的表面意味着其中的原子当初就是这样聚合起来的——这种，或那种。这种平坦和规整是空间用力于物质所致，其结果有如我刚才分析过的，空间也赋予那种摩尔人的图案以对称性。
拿一块立体的美丽的黄铁矿石，或者拿一块我认为美丽无比的八面体萤石（即天然金刚石）来看一看。它们的对称性也受我们生活其中的空间的性质的制约——也就是说，受我们生活其中的空间的三维和平坦的性质的制约。而且，没有任何原子的【创建和谐家园】形式能够打破这种自然的决定性法则。正如构成一种图案的那些单元，一种晶体中的原子在各个方向上堆积重叠。因此，一种晶体，也就如同一种图案，必定具有某种能够在各个方向上扩展或重复自身的同一形状。这就是一种晶体的表面只能具有特定的形状的原因所在；就其图案而言，只能是这样或那样的对称形式。例如，旋转一圆周，只能转动两次或四次，三次或六次，不会再多了。而且不会转动五次。你不可能造成这样一种原子的【创建和谐家园】形式，可以使完整占满空间的三角形一次有五个。
思考有关这些图案形式的问题，在实践中穷尽了空间各种各样可能的对称形式（至少在两维空间中），是【创建和谐家园】数学的伟大成就。而且，这一成就，有长达1000年的历史，具有无比的权威性。这些国王、裸体女人、宦宫和盲人乐师，构成了一幅奇妙而又规则的图案，人们对其中存在的关系的探索在当时可谓尽善尽美，不过，遗憾的是，这种探索并不寻求任何变化。不到人类上升至发现某种新的动力之时，人们思想是不会有新的内容的，数学上也就不会有新的发现。
大约在公元1000年时，【创建和谐家园】教文化开始从摩尔人从来征服过的地方，如地处狭长海岸地带的桑蒂拉那（santillana）村，迅速折回到西班牙北部地区。在那里，【创建和谐家园】教还是一种着眼于现世生活的宗教，这个村子里的一些纯朴而简单的偶像，如牛、驴，和耶稣【创建和谐家园】，都表明了这一点。对【创建和谐家园】的宗教信仰来说，这些动物偶像是不可思议的。而【创建和谐家园】教不仅允许动物形象的存在，耶稣【创建和谐家园】本人就是普通的孩子，圣母也是一个普通的妇女和人人崇拜的对象。当我们看到宗教【创建和谐家园】队列举着圣母玛丽亚像时，我们就像置身在一个不同的世界里：这不是抽象的图案，而是丰富多彩的、奔放热烈的生活。
当【创建和谐家园】教文化重新夺回西班牙时，边界上的斗争十分激烈。然而这里的摩尔人、【创建和谐家园】徒还有犹大人杂居在一起，创造了一种具有不同宗教信仰的不同寻常的文化，公元1085年，在托莱多（toledo）城一度形成了这种混合文化的中心。托莱多是【创建和谐家园】人从希腊、中东和亚洲将所有古典文献输入信奉【创建和谐家园】教的欧洲的重要口岸。
我们把意大利看作文艺复兴运动的发源地。但是，文艺复兴的思想观念在12世纪时就已在西班牙形成了，这方面的重要标志与表现是托莱多的著名译书馆，在这里，大批古代典籍从古希腊文（欧洲早已忘记了这种文字），经过【创建和谐家园】文和希伯莱文，译成拉丁文。在托莱多的其它文化进步中，人们还绘有一套早期的天文图表，这是一部关于星辰位置的百科全书。这套图表是按【创建和谐家园】教风格绘制的，体现了这座城市和这个时代的特点，但数目字却是【创建和谐家园】式的，并且是至今仍然能够被人们辨认出来的近代【创建和谐家园】数字。
当时最著名的翻译家和杰出的人物是克雷莫纳（cretnona）。的杰拉德（gerard），他特意从意大利来到托莱多，查找托勒密的一部天文学著作《天文学大成》（almagest），并留下来翻译阿基米德、希波克拉底、盖伦（galen）和欧几里得等人撰写的希腊科学的经典著作。
但是，我个人认为，在其著作被翻译成拉丁文的人当中，最为杰出的，而且从长远来看最有影响的并不是一个希腊人。这是因为我对有关空间物体的认识颇感兴趣。而这恰恰是希腊人完全弄错了的一门学科。大约在公元1000年，这个问题首次被一位名叫海桑（alhazen）的、性情古怪的数学家所认识，他是【创建和谐家园】文化造就的一位真正富有独创精神的科学家。希腊人曾认为光线是从人的双眼投射到物体上的。海桑却第一次认识到，我们之所以能够看见一个物体，是因为这个物体的每一点把光线直射或者反射到我们眼中。希腊人的观点无法解释一个物体，比如说，我的手在移动时，它的大小似乎有所变化。按照海桑的说法，这显然是因为，当我的手从你眼前向远处移开时，我的手的轮廓和形状所反射的光锥面变得越来越狭窄。而当我的手向你眼前移过来时，进入你眼中的光锥面越来越大，形成的夹角也更大。这种观点，也只有这种观点，才能解释物体发生大小变化的原因。但是，令人吃惊的是，如此简单明了的观点，居然600年来一直没有引起科学家们的注意。（罗杰?培根（roger bacon）是一个例外）不过，艺术家们在此之前很久就已在实践中注意到这一点了。关于从物体进入眼睛的光锥面的这种概念成为透视画法的基础。而透视的观点又是使数学恢复勃勃生机的新思想。
15世纪时，在意大利北部城市，如佛罗伦萨和威尼斯，透视的观点进入艺术创作领域，风靡一时。洛伦佐?吉贝尔蒂（lorenzoghiberti)为罗马梵蒂冈图书馆中的海桑的《光学》手稿译文作了注释，并且为佛罗伦萨的洗礼堂大门创作了著名的青铜透视画。他并不是透视画法的第一位先驱——第一位先驱可能是菲利普?布鲁内荣斯基（filippobrunelleschi）。当时已有好些像他那样的画家，足以组戍一个透视画派。这也是一个思想的流派，因为它的目的不仅仅是使画中的人物栩栩如生，唯妙唯肖，而且要赋予画中人物空间的动感。
只要我们将透视画派的一幅作品与一幅更早时期的作品相对照，就不难看出这种动感。
卡尔帕乔（carpaccio）描绘圣?乌尔苏拉（st ursula）离开雾霭迷茫的威尼斯港的绘画作于1495年。正如这时人们的耳朵能从欧洲音乐的新和声里欣赏出另一种深度和立体感一样，这幅画的明显效果是赋予视觉空间以一种第三维的感觉。不过，最主要的还不在它的深度，而在于它的动感。正如那新兴的音乐，这幅画和画上的人物使人感到是活动的。总而言之，我们感到这位画家的视线在不断移动。
对照一下一幅佛罗伦萨的壁画。它创作于公元1350年，比卡尔帕乔的画要早100年多。这幅壁画是从城墙外的某个角度来看这座城市，画家幼稚地越过城墙和房顶看过去，在他的画上那些建筑像阶梯一样排列起来。但这并不是技巧问题，而是创作意图问题。画家并不想采用透视画法，因为他认为自己是在按照事物本来的样子，而不是按照它们看上去的样子把它们记录下来：这是一种上帝的眼光，一幅永恒真理的画图。
而透视画家的意图则不一样。他有意识地让我们抛开绝对和抽象的眼光。他让我们不去过多地注意某一地点，而更多地着眼于某一瞬间：着眼于时间，而不是空间。所有这一切，是借助于精确的、数学性质的手段实现的。一位德国艺术家仔细地记录了这种画法，他就是阿尔布雷希特?丢勒（albrecht durer），他于1506年来到意大利，学习“透视画法的神秘艺术”。丢勒本人当然也着眼于刻划稍纵即逝的一瞬，如果我们再现他描绘的情景，我们会看到这位艺术家选择了一个富于戏剧性的时刻。他可能会围着模特儿走几步就停下来。或者，他会继续走下去，在此后的某一时刻才把视线固定下来。但是，在他从正面观察模特儿时，在这关键时刻，他的眼睛好似照相机快门，摄下他所看到的情形。透视并不是一种观点；对艺术家来说，它是一种积极主动、连续不断的创作行为。
在旱期透视画法创作中，人们习惯于用一种观测器和一种框格来捕捉视觉的瞬间所见。
这种观测手段来自天文学，而人们当时用来绘画的这种方格纸，今天成了数学运算的辅助用品。丢勒热衷于描绘的自然界所有的细枝末节，都是时间的动态的表现：这头公牛，这头毛驴，圣母玛丽亚脸上洋溢着的青春气息。这幅画题名为《东方贤人之爱》（the adorationof the magi)。来自东方的三位贤哲之士找到了他们的命运之星，这颗星辰宣告了时间的诞生。
丢勒在这幅画的中央画上的这只圣餐杯是用来教授透视画法的一个样板。例如，我们知道乌切洛（uccello）对这只圣餐杯所作的分析；我们可以在电子计算机上象这位透视画家那样显示这只圣餐杯的构图。他的视线像一只转盘那样追随和探索杯子形状的线条变换那种由圆向椭圆形的延伸，并且不断捕捉那在空间逝去的瞬息时间。
分析一个物体不断变化的运动，正如我可以在电子计算机上做的那样，对希腊人和【创建和谐家园】【创建和谐家园】的头脑来说，当时还相当陌生。他们总是寻求静止不变的东西，或者寻求一种秩序井然、完美无缺的永恒境界。对他们来说，最完美的形状是圆。圆周运动必定是平稳自如而又始终如一的，这就是天体的谐和。
这也说明托勒密的世界体系为什么是由一些圆构成的，时间沿这些圆平稳地、始终如一地运行不息。但在现实世界中，各种运动并非一成不变。它们每时每刻都在改变方向和速度，一直到一种认为时间是一个变量的数学理论创立之后，人们才可能对这些运动进行分析。这对天体来说是一个理论问题，而在地球上，这却又是一个非常实际而直接的问题——在一个抛射体的飞行中，在一种植物急速的生长中，在形状和方向突然变化的一滴水珠的迸溅中，这的确是个很实际的问题。文艺复兴时期的人们还没有能够使这稍纵即逝的画面停止不动的技术装备。但那时却有一种高明的设备：画家的心灵之窗，和数学家的逻辑推理。
于是，在1600年之后，约翰尼斯?开普勒（johonnes kepler）终于相信，行星的运行轨迹并不是圆的，也不是恒定不变的。行星的轨迹呈椭圆形，行星沿这种椭圆形轨迹以不同速度运行。这就意味着，静止式的古老数学不再能满足需要了，把运动看成恒定不变的那种数学也已过时。人们需要一门能给瞬时运动下定义并能计算这种运动的崭新的数学。他们是艾萨克?牛顿（issac newton）和哥特弗莱德?莱布尼茨（gottfried wilhelmleibniz），今天，这对我们来说，是如此熟悉，以致我们把时间看作是一种描述自然状况的天然要素，但以前情况却并非总是如此。正是牛顿和莱布尼茨提出了正切、加速度、斜率、无穷小、微分等等概念。有一个词现在已被人们淡忘了，但是，用它来描述那曾经被牛顿好比用照相机诀门固定下来的时间的流动，是再恰当不过的了：这就是“流数”
（fluxions），它是牛顿（在莱布尼茨之后）给今天所谓微积分起的名字。如果仅仅把微积分看作一种更为先进的技术，这并没有把握住它的真实内容。在微积分理论中，数学变成了一种能动的人类思维方式，这是人类在其上升历程中智力发展的重要一步。说来也真是奇怪，使微积分理论行之有效的技术性概念竟是一种关于无穷小的概念，赋予无穷小这个概念精确严格的含义，使人类知识有了新的突破。不过，我们还是把这个技术性概念留给专家学者们去研究，我们就姑且把这种数学叫作变化的数学吧。
自从毕达哥拉斯宣称数字是自然的语言以来，自然界的种种法则都一直是用数的关系来描述的。现在看来，这种自然的语言不能不包括那些描绘时间变化的数的关系。自然的法则成了运动的法则，而自然界本身，也成了一个不断运动的过程，而不再是一系列静止的结构形态。
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第六章 星辰的使者
小,说t,xt,天,堂
天文学是从地中海文明中产生出的第一门近代意义上的科学。数学的发展直接导致了天文学的兴起，这是很自然的；不过，天文学毕竟最先发展起来了，并且因为它能够转化成精确的数字形式，而成为当时其它各门学科的一个典范。我这样说，并非出于我个人的什么癖好。其实，真正别出心裁的倒是我竟然从新大陆开始，来讲述最早的一门地中海科学的有趣故事。
天文学的基本原理存在于一切文化形态之中，而且显然是古代人类所共同关心的重要课题。其原因很清楚。天文学知识可以帮助人们掌握季节变换的规律（例如通过对太阳运行的观察）。用这种方式，人们可以确定应该在什么时候播种、收割、放牧等等。因此，所有定居的文化形态，都有自己的历法，指导人们制订各种计划。在这方面，新大陆同埃及、巴比伦河谷地带的情形完全一样。
公元1000年以前，在大西洋和太平洋之间的美洲地峡一带繁荣起来的玛雅文明，就是一个很好的例子。玛雅文明完全可以看作是美洲文化的最高阶段：他们有自己的书面语言，有发达的工程技术和富于独创性的艺术。在玛雅人的寺庙建筑群中，耸立着高大的金字塔。
那里曾住过一些天文学家，在保留至今的一块巨大的祭坛石上，刻有他们这些人的肖像。这座祭坛是为了纪念公元776年举行的一次古代天文学会议建造的。当时有16位数学家来到这里，聚会在著名的玛雅文明的科学中心、中美洲的神圣城市科潘（copan）。
玛雅人创造算术体系远比欧洲为早，例如，他们很早就发明了表示“零”的符号。可以说，他们个个都是优秀的数学家；尽管如此，他们除了有一些最简单的天文图记外，几乎没有对任何星辰运动的规律进行过测绘。不过，玛雅人的宗教仪式又总是念念不忘时光流逝的问题，这种相沿成习的多虑和苦恼，在他们的天文学中，如同在他们的诗歌和传说中一样，占据着支配的地位。
当这次天文学盛会在科潘举行之时，玛雅的祭司兼天文学家们就已经碰到困难了，人们也许会以为，他们费了九牛二虎之力把分散在许多中心的满腹经纶的代表召集起来，会就一些星象观察的问题开始进行认真的研究。但是，我们如果这样想就错了。他们召开这次会议，是为了解决一个时常使玛雅历法监督人深感苦恼的算术计算问题。玛雅人有两部历法，一部宗教的历法，一部世俗的历法。这两部历法总是互相矛盾，难以统一。他们力图使这两部历法的差距不再扩大。关于行星运行的问题，玛雅天文学家们只掌握了一些极简单的规律，而对于这些行星运动的机制，却是一无所知。他们的天文学观念是纯粹【创建和谐家园】的，在他们看来，天文学只不过是用来保持历法的正确性的。这就是公元776年举行的那次天文学会议所做的全部工作，而与会代表却一个个颇为自负地让人们把自己的肖像镌刻在祭坛石上。
问题的关键在于天文学并没有停留在制订和修正历法上。天文学在古代民族中还有一种用途，但在当时尚未普及。星移斗换，可以为往来的行旅导航，特别是为那些在茫茫大海上航行而又看不到任何航标的航行者导航。这也正是天文学对于旧大陆的地中海航海家们的全部意义之所在。不过，据我们推断，当时新大陆的民族尚未把天文学用作一种航行（陆路旅行和海上航行）的科学指南。显然，没有天文学知识，人们就不可能在长途航行中找到正确的航向，更谈不上建立一套关于地球形状以及关于地球上陆地和海洋的理论。当年哥伦布扬帆启航，向世界的波岸进发时，他所运用的是一些古老的、照我们今天的观念看来十分粗浅的天文学知识。例如，他认为地球实际上要狭小得多。但是，哥伦布毕竟发现了新大陆。而新大陆的人们却从来没有想到地球是圆的，也从未打算走出去寻找旧大陆。这种情况决不是偶然的。事实上，恰恰是旧大陆的人们环绕地球航行，才发现了新大陆的。
天文学并不是科学的顶点，也不是发明的终极。天文学是对蕴含在某种文化中的气质和性格的一种检验，自古希腊时代以来，地中海民族的航海家们就培养了，一种特别执著的好奇探险的精神，把探险活动与逻辑思维——经验与理性——结合起来。而新大陆的人们却不是这样。
那么，新大陆是不是毫无创造发明可言呢？当然不是。即使像复活节岛上的这种非常原始的文化也产生过一项重大的发明，这就是一座座在外形和神态上都极为相似的巨型雕像。
这在世界上是绝无仅有的，人们照例会对此提出一些无关宏旨的、风马牛不相及的问题。这些雕像为什么会做成这个样子呢？是怎样搬运到这里的？它们是怎样安放在那些地方？不过，这并不是什么十分了不起的难题。要将比这些雕像的时代要早得多的巨石文化的巨石柱竖立起来，显然就更为困难；英格兰中南部的埃夫伯里（avebury）的石圈和其它巨石文化遗迹就是如此，不过，原始文化正是通过这些十分宏伟的集体活动一步一步地向前推进的。
关于这些巨型石雕，可以提出一个颇带挑剔性的问题：为什么它们全都一模一样呢？你看，它们一个个呆坐在那里，好似栖身在木桶里的第欧根尼（diogenes）们一样，他们眼窝深陷，木然地仰望着天空，对头顶上太阳的起落和星光的明灭，完全无动于衷，根本就不打算去了解这些自然现象。当荷兰人在1722年复活节那个星期天发现这个岛屿时，都异口同声他说那是个人间天堂的去处。但是，情况并非如此，因为，像这空洞的、毫无意义的重复，宛如一只关在笼子里的动物在那里走来走去，老是做一些相同的事情，是决不会造出什么人间天堂来的。那些石雕像的毫无表情的面孔、生硬呆板的身躯，以及它们身后那一片行将消散的薄雾，表明这种文明终于未能在理性认识的上升进程中向前迈出第一步。这正是新大陆各种文化的失败之处，这些文化已湮灭在它们那具有象征意味的冰河期里了。复活节岛与西边最近的一个有人居住的岛屿，皮特肯岛（pitcairn island），相距1000多英里。而位于复活节岛东面的斐尔南德斯群岛(juan fernandez islands），也育1500英里之遥。据说，著名小说人物鲁滨逊（robinson crusoe）的原型，亚历山大.塞尔扣克（alexanderselkirk），就是被困在斐尔南德斯群岛上。显然，如果没有一种可以用来指引航向的天体星座模型，要在海上进行这样远距离的航行，是决不可能的。关于复活节岛，还常有人提出这样的问题：那时人们是怎样来到这里的？他们来到岛上，完全出于偶然，这是不成问题的。而真正值得置疑的问题是：他们为什么没有能够逃出来？这多半是因为他们对星辰运行的规律还一无所知，当然也就不知道怎样利用星辰的运行来引路导航。
那么，又何以如此呢？一个明显的原因是，在南半球，天空中见不到北极星（polestar）。我们知道，这一点十分重要。因为；北极星对于候鸟的迁徙发挥了很大的作用，各种候鸟南飞北翔，正是依靠北极星才找到自己迁徒的路线。或许，这也就是为什么大多数候鸟迁徙的现象发生在北半球，而不是在南半球的缘故。
在天空中青不到这样一颗北极星，对于复洁节岛所处的南半球地区来说，也许是至关重要的，但是。对整个新大陆来说，这一点倒并不十分要紧，因为，这里还有中美洲，还有墨西哥，还有很多地方，它们都还没有自己的天文学，而又都位于赤道以北。
那么，问题究竟出在哪里呢？谁也无从知道。我认为，他们头脑中大概是缺少那种伟大的能动的形象，这种形象曾经十分有力地推动了旧大陆的发展——这就是圆轮的形象。在新大陆的人们看来，圆轮只不过是一个玩具而已。但是，对旧大陆的人们来说，圆轮却是诗歌与科学中的最伟大的形象，是一切事物的根基。当克里斯托弗?哥伦布于1492年出发远航时，正是天体围绕它们的轴心运行的思想启发了他，而这个轴心就是圆形的地球。哥伦布从希腊人那里接受了这一思想，希腊人认为各个星辰在茫茫空间都有自己固定的位置，在运行时还会发出和谐的乐音。所谓圆轮套着圆轮。这正是古代希腊托勒密的天动说，1000多年来，这一理论体系一直在起作用。
早在克里斯托弗?哥伦布开始远航前100多年，旧大陆就已能制造一种表明天体运行的精美的时钟装置了。这座天文钟是在大约1350年由意大利帕多瓦（padua）的一位名叫乔万尼.德丹第（giovanni de dondi）的人首先制成的。他前前后后花费了16年时间，可惜原物没有能够留存下来。值得庆幸的是，我们还有可能根据乔万尼.德丹第的施工草图进行仿制。现在，在美国华盛顿的史密森尼亚研究所，还存放着由乔万尼?德丹第亲手设计的、令人称绝的古典天文钟模型。
不过，较之这一机械工艺上的奇迹更为重要的，是它显示了一种丰富而大胆的思维想象力，这和亚里士多德（aristotle）、托勒密和希腊人的智慧的构想是一脉相承的。德丹第制作的钟体现了他们从地球上观察星球运行的观点。按照古代人类的一种想法，以地球为中心，一共有7个行星在转动，他们把太阳也看作是围绕地球旋转的一个行星。因此，这座钟装有7个针面或针盘，每一个针面或针盘上都有一个行星在运动。它们的运行轨道大体上与人们从地球上观察所见相同——这座时钟装置的精确程度大致相当于当时在地球上观察时所获得的精确性。当某个行星的轨迹从地球上看来出现迂回曲折时，在针盘上也可同样显示出来，这是不难做到的。可是，当某个行星的轨迹，从地球上看来呈螺旋形时，德丹第则仿照周转轮的组合安装法把几个圆轮互相套装在一起，这就是托勒密描绘的“圆圈套圆圈”的运动。
首先是太阳：在当时的人看来，是一种环形运行轨迹。紧接着，下一个针面表示的是火星：请注意，火星的运动是在一个圆轮内的一个时钟装置上进行的。再下一个是木星：它的轨迹也是圆轮套圆轮，不过要更加复杂一些。再下一个是土星：还是圆轮套圆轮。然后是月球：这个行星的运行轨迹不正如德丹第所描绘的那样十分耐人寻味吗？表示月球运行的针盘并不复杂，因为它才真正是围绕地球运行的一个行星，其运行轨迹循环往复。最后是处在我们和太阳之间的两个行星的针盘，一个是水星，另一个是金星。它们运行轨迹的图象同前，表示金星的那个圆轮在另一个更大的、假想的圆轮内转动。
这是一种令人惊奇的、富有非凡智慧的构想，十分复杂——其实，早在公元150年，在【创建和谐家园】诞生后不久，希腊人也应该能够设想出这样高超的结构装置，并从数学角度进行研究，果真如此，就会更加令人惊叹不已了。那么，这一装置的差错又在哪里呢？差错只有一个：即，7个针盘代表7个行星天体，这些天体必然只有一种而不是7种运行机制。只是在哥白尼于1543年提出太阳是这些天体的中心的看法以后，人们才终于发现了这种机制。
尼古拉?哥白尼（nicolaus copernicus）是一位杰出的波兰籍教士和人文主义思想家。他生于1473年，曾在意大利学习法律和医学，他曾向波兰政府建议进行币制改革；教皇也曾请他协助改进历法。大体说来，至少有20年左右的时间，哥白尼一直在不遗余力地向人们阐释“自然应以质朴纯真为本”这一近代哲理。那么，为什么这些行星运行的轨迹又是如讹的复杂？这是因为，正如哥白尼所推断的，人们恰巧是从他们所站立的地方、也就是从地球上来观察这些行星的、像那些具有远见卓识的先驱者们一样，哥白尼也提出了这样的问题：“为什么我们不从另外一个地方来观察行星呢？”对于哥白尼来说，文艺复兴时期的种种充足的理由，与其说是智力方面的理由，倒不如说是感情方面的理由，使他选择了金色的太阳作为他观察行星运行的“另一个地方”。
太阳端坐在所有行星的中央，登极称王。在这座美丽迷人的神殿中，我们能不能把这个光彩夺目的发光体放置在一个恰当的位置上，使它能够同时照亮整个天体呢？人们称它是明灯，是智慧的源泉，是宇宙万物的主宰，它的确当之无愧；埃及的赫密斯?屈斯默吉斯塔（hermes tri【创建和谐家园】egistus）把它称作“无处不见的上帝”，索福克勒斯（sophocles）悲剧中的埃勒克特拉（ele ctra）也称颂它是“明察秋毫的天神”。于是，太阳君临宇宙的王位，统治着它的子民，所有的行星都围绕着它转动、运行。
我们知道，哥白尼早已考虑把太阳置于行星体系的中心。很可能，他在40岁以前就已经写出了关于他的宇宙图式的最初草稿，当然，这份草稿不会是数学性质的。不过，在一个宗教动乱的时代，这种主张是不可轻易提出来的。直到1543年，哥白尼快满70岁的时候，才终于鼓起勇气公开发表了他从数学的角度描述天体的著作，题名为《天体运行论》（therevolution of the heavenly orbs），把各种天体看作是围绕太阳运行的一个完整的体系。（“revolution”这个词现在常用来表示某种与天文学毫不相关的意义，这并非出于偶然。这种意义正是发端于这个时候和这个书名。）也就是在这一年，哥白尼与世长辞了。据说，在他临终时、人们把一本《天体运行论》放在他手中，只是在这时他才终于看到了自己潜心写就、印刷成册的这部著作。
文艺复兴运动来势迅猛——涉及宗教、艺术、文学、音乐和数学等各个领域——与整个中世纪的体系发生了直接而尖锐的冲突。对于我们来说，亚里士多德的力学和托勒密的天文学理论在整个中世纪体系中似乎并不占有十分重要的地位。但是，对于哥白尼的同时代人来说，这些理论却代表着这个世界的天然的、明显可见的秩序。至于圆轮，它曾是希腊入关于完美运动的理想形象，早已成为一个僵死的偶像。如同玛雅人的历法或复活节岛上的石雕像一样，毫无生气。
哥白尼的理论体系，对于他所处的那个时代而言，则显得大逆不道，格格不入，尽管天体行星依旧在不停地运转着。（有一个曾在布拉格从事研究的年轻人，名叫约翰尼斯?开普勒（johannes kepler），正是他证明了行星运行的轨迹实际上是呈椭圆形的。）不过，这类问题，在那时，既不是平民百姓所关心的，也和神父教士们毫不相干。他们对于天体轮回的理论，仍然信守不渝：日月星辰都应该而且必须围绕地球而转动。这已成为一个信条，似乎教会已经断然认定，托勒密体系不是由一个居住在地中海东部地区的希腊人发明的，而是由全能的上帝一手创造的。显然，这场争论的核心，不是学说本身，而是权势的问题。这场论争直到70年以后才在威尼斯见分晓。
在1564年，诞生了两位伟人，一位是英格兰的威廉?莎士比亚（williamshakespeare），另一位是意大利的伽利略?伽利勒（galileo galilei)。莎上比亚在描写他那个时代的争权夺利的戏剧故事时，曾经两次将威尼斯共和国作为他剧作的背景地：一次在《威尼斯商人》（the merchant of venice）中，另一次是在《奥赛罗》中。这是因为，直到1600年，地中海地区仍然是世界的中心，而威尼斯又是整个地中海地区的中心。许多雄心勃勃、满怀抱负的人纷纷来到威尼斯，因为在这里他们可以自由自在地从事自己的工作而不受任何拘束：商人、冒险家、文人学者、还有一大批艺术家和手工匠人。他们遍布大街小巷，随处可见，和今天的情况颇为相似。
威尼斯人素有诡秘狡诈的声名。正如人们常说的那样，威尼斯是一个自由港，言下之意，颇有某种阴谋权术的气味，使得里斯本和丹吉尔（tangier）那样的中立城市提心吊胆，忐忑不安。1592年，基厄丹诺?布鲁诺（giordano bruno）就是在威尼斯，陷入一个背信弃义的保护人设下的圈套而被捕的，后来他被移交给异端裁判所（thelnquisition），8年后在罗马被处以火刑。
当然，威尼斯人又是一个注重实际的民族。伽利略曾在比萨（pisa）对基础科学进行过十分深入的研究。据我推测，当时威尼斯人之所以聘请伽利略为帕多瓦大学的数学教授，主要是看中了他在实际发明方面所显示的才干。伽利略的一些发明成果仍保留在佛罗伦萨的西门托学院（accademia cimento）的历史性收藏品中，至今人们仍在进行精心的研究和应用。有一个旋绕状的玻璃器皿，是用来测量液体膨胀力的，它和某种温度计颇为相似；还有一个十分精巧的静水力学天平仪，可测出贵重物质的密度，这是根据阿基米德原理制作的。
伽利略还懂得一些买卖人的诀窍，他制成的一种他称之为“军用罗盘”的计算仪与近代的计算尺相比，不无相似之处。伽利略还曾在他的工作室中一边制作一边出售这种计算仪。他还编写了“军用罗盘”的使用手册，在自己家里印发给他人。这是伽利略发表的首批著作之一，被认为是一种良好的商业实用科学的范例，深受威尼斯人钦佩。
因此，毫不奇怪，当1608年底，来自佛兰德（flanders）的一些爱出风头的人发明了一种极简单的单管望远镜时，他们都跑来设法卖给威尼斯共和国。不过，当时威尼斯共和国已聘用了伽利略，他比北欧任何一个科学家和数学家都更具权威——而且还是一位极优秀的宣传鼓动家。当他自己制作了一台望远镜以后，就催促威尼斯元老院尽快在教堂钟楼顶上当众展出了那台望远镜。
伽利略个子不高，身材结实，充满活力，长着一头只有男孩子们才有的红头发，看上去不大像个已成年的单身汉。佛兰德人发明望远镜的消息传来时，他刚满40岁。这件事使他激动不已。经过一整夜的苦苦思索，他终于弄明白了望远镜的原理，并动手制作了一台性能差不多的望远镜，能放大3倍，大体相当干一副高级的观剧望远镜。不过，在伽利略来到威尼斯教堂钟楼之前，他已经将望远镜放大率提高到8至10倍，制成一架名副其实的望远镜。用这架望远镜，从钟楼顶上望去，水平线约为20英里，你不仅能够看见海上航行的船只，而且还能在那只船航行了两个小时或更远的时候把它辨认出来。这项发明对于里奥托（rialto）岛上的航运经纪人来说，真可说是价值千金。
伽利略在写给他在佛罗伦萨的妻弟的信中，详细谈到了这件事情，信上署明的日期是1609年8月29日：那么，你一定知道，在将近两个月以前，我们这儿传开了这样一个消息，在佛兰德，有人向莫里斯伯爵（count maurice）献上一架单筒望远镜，它的制作方法可以使距离很远的东西看起来就像在眼前一样，即便是一个距离我们两英里远的人，也能看得清清楚楚，这玩意儿竟会有如此奇妙的效果，使我想得很多。依我看，这种望远镜一定是以关于透视的理论为基础的，于是我就着手分析它的构造，我终于得出了结果，并且自己也制作了一架很好的望远镜，声誉远远超过佛兰德人的那一架。消息不胫而走，很快传到了威尼斯。6天前，我被大公召见，我不得不向大公和元老院的所有元老、向感到无限惊奇的所有人展示这架望远镜；许多绅士和元老，虽然年事己高，却不止一次地登上这威尼斯最高的钟楼，用这架望远镜观看那些远远地在海上航行的船只，还有那些正鼓足风帆向港口驶来的船只，如果没有我这架望远镜，大约要等上两个小时或更长时间才能看见它们。这种仪器的作用，实际上是使一个离我们，比如说，50英里远的物体移近、放大，使它看起来好像距离我们只有5英里远。
伽利略是现代科学方法的创始人。在钟楼顶上获得成功之后六个月，伽利略又做出了任何人都会感到满足的重大成绩。他忽然想到，仅仅把这种佛兰德人的玩意儿改造成一种航海仪器，是远远不够的。还可以把它变成一种研究的手段，这在当时的确是一种崭新的思想。
他把望远镜的放大率提高到30倍，用来观察星辰。这样，他第一次真正开创了我们今天所认为的实验科学研究的先河：建立实验设施，进行实验，公布实验结果。这就是伽利略在1609年9月到1610年3月不到一年的时间内所做的工作，并在威尼斯发表了他的杰出著作《星辰的使者》（the starry messenger），生动地描述了他新近取得的天文学观察的结果。这部著作告诉了我们一些什么呢？
[我看见了]成千上万颗星，都是过去从未见过的，而且比我们以前知道的星，在数量上起码超出10倍以上。
但是，令人无比惊奇，而且特别使我感到激动以致必须提请所有天文学家和哲学家注意的是，我发现了4个行星，在我之前，没有任何一个天文学家知道这4颗行星，也没有人观察到它们。”
这里所说的，就是木星的4颗卫星。《星辰的使者》还谈到他怎样用望远镜观察月球。
伽利略是公开发表月球天体图的第一人。我们还保存着他亲手绘制的水彩画原件。
看见月球时的情景是极其美丽动人的……月球表面并不是平坦光滑的，看上去很粗糙，凹凸不平。和地球的表面一样，月球上也到处布满了大片岩石和环形山，有很多断层，蜿蜒曲折的峡谷也到处可见。
当时出使威尼斯总督府的英国大使，亨利.沃顿爵士（sirhenrry wotton），在《星辰的使者》问世的那一天，专门向他的上司作了如下的报告：这位帕多瓦大学的数学教授已经……发现了4颗新的、围绕木星转动的行星，除此之外，还有许多我们过去不知道的恒星……月球也并非是平滑的球形，表面有许多突起的东西……这位作者的冒险之举，将使他不是名扬四海，就是贻笑天下。下一班船回国时，阁下将收到我寄上的一架光学仪器，它是经过那个人改进过的。
这个消息引起了极大的轰动。其声誉超过了当初在贸易界引起轰动的那一次成功。然而，这一新发现并没有受到普遍一致的欢迎，因为，伽利略观察天体的结果以及他向每一个愿意亲眼看一看天体的人所揭示的情况，都说明托勒密的地心宇宙体系是不能成立的。哥白尼的雄辩有力的推断当初是正确的，现在已得到明确的证实。而正如许多新近的科学成果一样，伽利略取得的成就从根本上为当时统治集团的偏见所不容。
伽利略原以为，他所做的一切，不过是为了证实哥白尼是正确的，每一个人都会听信他的意见。这是伽利略的第一个错误：他把人们的思想动机看得太天真了，这也是科学家们常犯的一种错误。其次，伽利略以为他这时已声誉卓著，满可以丢下他在帕多瓦大学辛劳而沉闷的教书匠的工作，脱离反教权主义的安全的威尼斯共和国的庇护，回到故乡佛罗伦萨去。
这是伽利略的第二个错误，而且最终成为他一生中的致命性错误。
16世纪，宗教改革所取得的一系列成功，迫使罗马天主教会发动一场猛烈的反改革运动。他们不遗余力地反对路德（luther）；而在欧洲展开的这场斗争完全是权势之争。1618年，爆发了所谓“三十年战争”（the thirty years war）。1622年，罗马设立了传播天主教信仰的专门机构，我们今天所用的“宣传”（propaganda）一词就是从这里演化而来的。天主【创建和谐家园】和新【创建和谐家园】之间展开了一场我们今天所说的“冷战”（a cold war）。伽利略本来应该明白，在这场冷战中，无论是大人物还是小人物，都不会得到丝毫的好处。对于冷战的双方，判断是非曲直的标准十分简单，即谁不拥护我们，谁就是一个异【创建和谐家园】。即使像贝拉明枢机主教（cardinal bellarmine）这样超脱的宗教信条的诠释者，当初也觉得基厄达诺?布鲁诺的天文学观点令人无法容忍，将他以火刑处死。教会就是一种强大的世俗权力，在那苦难的年代，它正在与一支政治十字军作战，在这场战斗中，任何手段最终都会被证明是正当的——这就是这个警察国家的道德准则。